На главную

2. Как представлять числа в иичной системе счисления?

 

Очевидно, что разложение целого числа с помощью ряда (2.4) не является единственным.

Однако можно выделить три формы. Каждая форма характеризуется количеством членов в формуле (2.1). Назовем эти члены точками.

1. Отжатая форма -  количество точек минимально. ( Х+ )

2. Пережатая форма -  количество точек максимально. ( Х- )

3. Средняя форма - количество членов сбалансировано. ( Х= )

Например, разложим сотку

100 = 81 + 18 + 1 = E12 + E8 + E0 ,

100 = 54 + 27 + 12 + 4 + 2 + 1 = E11 + E9 + E7 + E4 + E2 + E0,

100 = 36 + 27 + 12 + 9 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1 = E10 + E9 + E7 + E6 + E4 + E3 + E2 + E0.

Или в бинарном виде

100 = 100010000001 ,

100 = 010101001011 ,

100 = 001101111111 .

В таблице 2 показаны значения точек Еi .Здесь также приведены их начальные суммы ESi и значение функции e·ln(E), которые понадобятся в дальнейшем.

 Таблица 2.

Разложение по каждой форме не сложнее перевода числа из одной системы счисления в другую – O(n2).

Такое представление натуральных чисел назовем иичным, так как оно моделирует в конечных знаках систему счисления по основанию е. Тем более что число е хорошо ассоциируется с ийцом.

В explog.xls подробно показаны свойства иичного разложения чисел во всех формах. Там же указаны необходимые формулы и алгоритмы. Здесь остановимся коротко.

Так, для получения отжатой формы, применяем следующий алгоритм.

Для заданного натурального числа Х0 , находим ближнее снизу число, вида (2.4) – E0, например, для Х0  = 100  это будет E0  =  81 = 34. Вычисляем новое число Х1 = Х0E0   (Х1 = 100 - 81 = 19). И так далее, до нуля или единицы.

Для получения пережатой формы числа воспользуемся дополнительными переменными.

Введем понятие логарифмической нормы числа Lm( X ).

Пусть Lx+(X) обозначает номер позиции старшей единицы в отжатом представлении числа Х, например, для X = 100 получим Lx+(100) = 12. Тогда

                                                      Lm( X ) = Lx+( X ) – 1 ,                                                    (2.7)

для всех  X > 3. И Lm( 1 ) = 1,  Lm( 2 ) = 2.

Есть и аналитическая формула

                                                  Lm( X ) = [ e · ln( X ) ] + C ,                                                (2.8)

где С = { 0, 1 } ( таблица находится в explog.xls ).

Теперь рассмотрим ряд ES( i ), составленный из начальных сумм Е( i ) (таблица 2).

Очевидно, что каждому числу ES( i ) соответствует пережатая форма в виде i единиц.

Например, для числа ES( 15 ) = 766 имеем Х- = ( 111111111111111 )

Введем еще понятие – двойственное к X число Y. Его значение будем находить по формуле

                                                      Y = ES( Lm( X ) ) – X ,                                                    (2.9)

для всех X > 0.

Тогда пережатую форму числа Х- определим из отжатой формы Y+, путем замены 0 на 1 и 1 на 0 в Lm(X) разрядах.

Приведем пример для Х = 100.

Из (2.7) получим Lm(100) = 11 разрядов, ES( 11 ) = 172.

Из (2.9) получим Y = 172 – 100 = 72 – двойственное к 100 число.

Отжатая форма для 72 имеет вид                                Y+ = 10010000000.

Тогда пережатая форма для 100 примет вид  Х+ = 01101111111.

Здесь первая цифра соответствует старшему разряду ( Е11 = 54 ).

Таким образом, формы Х+ и Х- обладают некоторой «формальной» симметрией.

Ненадолго остановимся на рассмотрении средней или, как ее еще можно назвать, случайной форме числа.

Введем в рассмотрение еще один ряд ES/2( i ), который зададим следующим способом:

для нечетных i: ES/2( i ) = Е( i ) + ES/2( i - 1 ),

для четных i: ES/2( i ) = ES/2( i - 1 ).

Все три ряда показаны на рисунке 4.

Рисунок 4.

Нетрудно заметить, что двоичные последовательности, состоящие из примерно равного количества единиц и нулей, будут асимптотически иметь значения вблизи ряда ES/2( i ). Конечно, здесь мы подразумеваем последовательности, наделенные «мерой» Е( i ).

Введем константу

                                                  (2.10)

С ее помощью будет характеризовать напряжение формы.

И введем параметр a, с помощью которого будем изменять напряжение формы

                                                        δ(a ) = δ  + 0.001a                                                     (2.11)

Тогда, для создания средней формы числа, воспользуемся следующим алгоритмом. Для заданного натурального числа Х0, находим три ближних снизу числа, вида (2.4) – E0, E0’’, E0’’’. Например, для Х0  = 100  имеем:

E0=  81 = 34 , E0’’ =  54 = 2·33, E0’’’.  =  36 = 4·32.

Вычисляем новые числа:

 Х1 = Х0E0       ( Х1 = 100 - 81 = 19 ),

Х1’’ = Х0E0 ‘’       ( Х1’’ = 100 - 54 = 46 ),

Х1’’’ = Х0E0 ‘’’  ( Х1’’’ = 100 - 36 = 64 ).

Сравниваем данные числа со значением функции

                                               

Так, для a = 0, имеем Z0(100) = 82 / 1.6922 = 48.4576 .

Выбираем наибольшее Х1 , не превышающее Z0.

В нашем примере  Х1’’ = 46.

Используем его для следующего шага итерации.

И так далее, до нуля или единицы.

Параметр a, равный нулю, задает среднюю форму представления числа. При его увеличении, последовательно на 1, форма отжимается, а при уменьшении, наоборот, сжимается. Таким образом, данный параметр наиболее полно характеризует расщепление формы числа.

Приведу, без подробностей, качественные аналитические связи между величинами x, l = l(x) и a, которые нетрудно выявить:

                                  

По сути, эти формулы означают, что x, l и a, в некотором смысле ортогональны по отношению друг к другу.

Что касается иичного представления рациональных чисел, то и в этом случае, все определенные выше алгоритмы работают без проблем.

Интересно отметить одно свойство рационального разложения единицы в пережатой форме:

                     

Которое, в свою очередь, вытекает из следующей  бесконечной суммы

    (2.12)

для всех целых b.

Здесь отчетливо виден период ( 111110 ). Можно назвать такое свойство фрактальностью бесконечного иичного представления чисел.

В заключение, рассмотрим поведение графиков функций e( L ) и l( E ) (2.5 – 2.6), по сравнению с их аналитическими аналогами  и . На рисунке 5 показаны относительные погрешности для каждой функции.

Рисунок 5.

На верхнем графике хорошо видно, что относительна погрешность для символьного логарифма L = l( E ), имеет систематическую ошибку, примерно 0.5 процента, которую нетрудно учесть в расчетах.

Нижний график показывает, что функция Е = e( L ), экспоненциально приближается к своему аналитическому аналогу.

В итоге запишем

                                                                                        (2.13)

В explog.xls приведены все формы разложения первых 1000 чисел. Там же приведена программа, позволяющая управлять формами чисел с помощью параметра a  и много других данных по этой теме.

 

              

 


The Programs And Source Codes Rambler's Top100 Rambler's Top100